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HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

La Historia de la Matemática es un área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas y, en menor grado, de los métodos matemáticos y la notación.^{[cita requerida]}

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz sólo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son el Plimpton 322 (matemáticas en Babilonia c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (matemáticas en el Antiguo Egipto c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (Matemáticas en Egipto c. 1650 a. C.), y el Shulba Sutras (Matemáticas en la India c. 800 a. C.). Todos estos textos tratan sobre el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de laaritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.^{[cita requerida]}

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.¹ Las matemáticas en el Islam, a su vez, desarrollaron y extendieron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media.

Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las ráfagas de creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

[editar]Los inicios de la matemática

El hueso de Ishango, del 20000 al 18 000 a. C.

Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de, aproximadamente, 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrónes geométricos.² También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a.C.,³ que sugieren intentos iniciales decuantificar el tiempo.⁴

Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales.^5 6

El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida⁷ de una secuencia de números primos y de la multiplicación en el Antiguo Egipto. En el periodo predinástico de Egipto del 5º milenio a.C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del 3er milenio a.C., incorporan ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.⁸

Las primeras matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 - 2600 a. C., en la Cultura del Valle del Indo, (civilización Harappa) del norte de la India y Pakistán. Esta civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba el sistema decimal, una sorprendentemente avanzada tecnología con ladrillos para representarrazones, calles dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de formas geométricas y diseños, incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos concéntricos y secantes. Los instrumentos matemáticos empleados incluían una exacta regla decimal con subdivisiones pequeñas y precisas, unas estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegación. Laescritura hindú no ha sido descifrada todavía, de ahí que se sepa muy poco sobre las formas escritas de las matemáticas en Harappa. Hay evidencias arqueológicas que han llevado a algunos a sospechar que esta civilización usaba un sistema de numeración de base octal y tenían un valor para π, la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.^9 10

Por su parte, las primeras matemáticas en China datan de la Dinastía Shang (1600 - 1046 a.C ) y consisten en números marcados en un caparazón de tortuga [1] [2]. Estos números fueron representados mediante una notación decimal. Por ejemplo, el número 123 se escribía, de arriba a abajo, como el símbolo para el 1 seguido del símbolo para 100, luego el símbolo para el 2 seguido del símbolo para 10 y, por último, el símbolo para el 3. Este era el sistema de numeración más avanzado en su tiempo y permitía hacer cálculos para usarlos con el suanpan o el ábaco chino. La fecha de invención del suanpan no se conoce con certeza, pero la mención escrita más antigua data del 190 d. C., en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras, de Xu Yue's.

[editar]Antiguo Oriente Próximo (c. 1800 a. C.–500 a. C.)

[editar]Mesopotamia

Las matemáticas babilónicas hacen referencia a las matemáticas de la gente de Mesopotamia, el actual Irak, desde los días de los primeros sumerios, hasta el inicio del periodo helenístico. Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel central deBabilonia como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo helenístico. Desde este punto, las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar lugar a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo elImperio árabe, Mesopotamia, especialmente Bagdad, volvió a ser un importante centro de estudio para las matemáticas islámicas.

En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, el conocimiento sobre las matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desveladas desde 1850. Labradas en escritura cuneiforme, las tablillas fueron grabadas mientras la arcilla estaba húmeda y cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas graduadas.

Las evidencias más tempranas de matemáticas escritas datan de los antiguos sumerios, que constituyeron la civilización primigenia en Mesopotamia. Los sumerios desarrollaron un sistema complejo de metrología desde el 3000 a. C. Desde alrededor del 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y trataron ejercicios geométricos y problemas de división. Las señales más tempranas de los numerales babilónicos también datan de ese periodo.¹¹

La mayoría de las tablillas de arcilla recuperadas datan del 1800 al 1600 a. C. y abarcan tópicos que incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el cálculo de primos gemelos regulares recíprocos (véase Plimpton 322).¹² Las tablillas también incluyen tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas. La tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de √2 con una exactitud de cinco posiciones decimales.

Las matemáticas babilónicas fueron escritas usando un sistema de numeración sexagesimal (base 60). De ahí se deriva la división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60 minutos, así como la de un círculo en 360 (60 × 6) grados y las subdivisiones sexagesimales de esta unidad de medida de ángulos en minutos y segundos. Los avances babilónicos en matemáticas fueron facilitados por el hecho de que el número 60 tiene muchos divisores. También, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de numeración posicional, donde los dígitos escritos a la izquierda representaban valores de orden superior, como en nuestro actual sistema decimal de numeración. Carecían, sin embargo, de un equivalente a la coma decimal y así, el verdadero valor de un símbolo debía deducirse del contexto.

[editar]Egipto

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipción como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a las matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el imperio árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.

El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de un tronco: "Si te dicen: Una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto."

El papiro de Rhind (hacia 1650 a. C. [3]) es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias. También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos,¹³ incluyendo números compuestos y primos; media aritmética, geométrica y armónica; y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, a saber, del número 6)[4]. El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden[5], así como series aritméticas y series geométricas[6].

Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la geometría analítica: (1) primero y más importante, cómo obtener una aproximación de π con un error menor del 1%; (2) segundo, un antiguo intento de cuadrar el círculo; y (3) tercero, el uso más antiguo conocido de un tipo de cotangente.

Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 a. C. [7] [8]) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación cuadrática [9].

[editar]Matemáticas en la antigua India (del 900 a. C. al 200 d. C.)

Numerales Brahmi en el siglo I.

Las matemáticas védicas comenzaron en la temprana Edad del Hierro, con el Shatapatha Brahmana (hacia el siglo IX a. C.), donde se aproxima el valor de π con dos decimales.[10] y elSulba Sutras (hacia el 800–500 a. C.) que eran textos de geometría que usaban números irracionales, números primos, regla de tres y raíces cúbicas; cálculo de la raíz cuadrada de 2 con cinco decimales; un método para cuadrar el círculo; resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas; desarrollo algebraico de ternas pitagóricas y enunciado y demostración numérica delteorema de Pitágoras.

Pāṇini (hacia el siglo V a.C.) formuló las reglas gramaticales para el sánscrito. Su notación fue similar a la notación matemática moderna y usaba "metarreglas", transformaciones yrecursiones con tal sofisticación que su gramática tenía el poder de cálculo equivalente a una máquina de Turing. Pingala (aproximadamente de los siglos III al I a.C.) en su tratado deprosodia usa un dispositivo correspondiente a un sistema binario de numeración. Su discusión sobre la combinatoria de métricas musicales corresponde al teorema binomial. La obra de Pingala también contiene ideas básicas sobre los números de Fibonacci, llamados mātrāmeru. La escritura Brāhmī se desarrolló al menos desde la dinastía Maurya, en el siglo IV a. C., con evidencias arqueológicas recientes que hicieron retroceder la fecha hacia el 600 a. C. Los numerales brahmi datan del siglo III a. C.

Entre el 400 a. C. y el 200 a. C., los matemáticos Jaina comienzan el estudio de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas. Ellos fueron los primeros en desarrollar los números transfinitos, la teoría de conjuntos, los logaritmos, leyes fundamentales de los índices, ecuaciones cúbicas y cuárticas, sucesiones y progresiones, permutaciones y combinaciones, cuadrados y extracción de la raíz cuadrada y potencias finitas e infinitas. El Manuscrito Bakhshali, escrito entre el 200 a.C y el 200 d. C., incluía soluciones de ecuaciones lineales con más de cinco incógnitas, la solución de la ecuación cuadrática, progresiones aritméticas y geométricas, series compuestas, ecuaciones cuadráticas indeterminadas, ecuaciones simultáneas y el uso del cero y los números negativos. También pudieron encontrarse cálculos exactos de números irracionales, que incluían raíces cuadradas de números tan grandes como un millón y con once decimales.

[editar]Matemáticas griegas en la Antigüedad (hasta el 300 d. C.)

Pitágoras de Samos

Las matemáticas griegas hacen referencia a las matemáticas escritas en griego desde el 600 a. C. hasta el 300 d. C.¹⁴ Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. Las matemáticas griegas del periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas helenísticas.

Tales de Mileto

Las matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o teoremas, a partir de definiciones y axiomas.¹⁵ La idea de las matemáticas como un entramado de teoremas sustentados en axiomas está explícita en los Elementos de Euclides (hacia el 300 a. C.).

Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Thales (hacia 624 a.C – 546 a.C) y Pitágoras (hacia 582 a. C. - 507 a. C.). Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido, fueron inspiradas probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios.

Thales usó la geometría para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la orilla. Se atribuye a Pitágoras la primera demostración del teorema que lleva su nombre, aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia.¹⁶ En su comentario sobre Euclides, Proclo afirma que Pitágoras expresó el teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas algebraicamente antes que de forma geométrica. La Academia de Platón tenía como lema "Que no pase nadie que no sepa Geometría".

Los Pitagóricos probaron la existencia de números irracionales. Eudoxio (408 al 355 a. C.) desarrolló el método de exhausción, un precursor de la moderna integración.Aristóteles (384 al 322 a. C.) fue el primero en dar por escrito las leyes de la lógica. Euclides (hacia el 300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la metodología matemática usada hoy día, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones. También estudió las cónicas. Su libro Elementos fue conocido por todo el mundo occidental culto hasta la mitad del siglo XX.¹⁷ Además de los teoremas familiares sobre geometría, tales como el Teorema de Pitágoras, "Los elementos" incluye una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional y otra sobre la infinitud de los números primos. La Criba de Eratóstenes (hacia 230 a. C.) fue usada para el descubrimiento de números primos.

Arquímedes de Siracusa (hacia 287-212 a. C.) usó el método de exhausción para calcular el área bajo un arco de parábola con ayuda de la suma de una serie infinita y dio una aproximación notablemente exacta de pi.¹⁸ También estudió la espiral, dándole su nombre, fórmulas para el volumen de superficies de revolución y un ingenioso sistema para la expresión de números muy grandes.

[editar]Matemáticas en la China clásica (c. 500 AC – 1300 DC)

Las Nueve Lecciones del Arte Matemático.

En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenó en 212 AC que todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemática en la China ancestral.

Desde la Dinastía Zhou, a partir del 1046 AC, el libro de matemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos, matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente (véase Secuencia del Rey Wen).

La obra más antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista, hacia el 330 a. C., recopilado por los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de matemáticas.

Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C - 220 d.C) produjo obras matemáticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se habían perdido. La más importante de estas es Las nueve lecciones sobre arte matemático, cuyo título completo apareció hacia el 179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas, ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Se crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y una formulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui hizo un comentario de la obra hacia el siglo III d. C.

En resumen, las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng (78–139 d. C.) contenían una formulación para pi también, la cual difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula de pi para encontrar volúmenes esféricos. Estaban también los trabajos escritos del matemático y teórico de la música Jing Fang (78–37 a. C.); mediante el uso de la coma pitagórica, Jing observó que 53 quintas justasse aproximan a 31 octavas. Esto llevaría más tarde al descubrimiento del temperamento igual que divide a la octava en 53 partes iguales y no volvería a ser calculado con tanta precisión hasta que en el siglo XVII lo hiciese el alemán Nicholas Mercator.

Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como cuadrado mágico y círculo mágico, descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados por Yang Hui (1238–1398 d. C.).

Zhang Heng (78–139 d. C.)

Zu Chongzhi (siglo V) de las Dinastías del Sur y del Norte calculó el valor de π hasta siete lugares decimales, lo que daba lugar al valor de π más exacto durante casi 1000 años.

Incluso después de que las matemáticas europeas comenzasen a florecer durante el Renacimiento, las matemáticas chinas y europeas mantuvieron tradiciones separadas, con un significativo declive de las chinas, hasta que misioneros jesuitas como Matteo Ricci intercambiaron las ideas matemáticas entre las dos culturas entre los siglos XVI y XVIII.

[editar]Matemáticas en la India clásica (hacia 400–1600)

Aryabhata.

El Surya Siddhanta (hacia el año 400) introdujo las funciones trigonométricas de seno, coseno y arcoseno y estableció reglas para determinar las trayectorias de los astros que son conformes con sus posiciones actuales en el cielo. Los ciclos cosmológicos explicados en el texto, que eran una copia de trabajos anteriores, correspondían a un año sideral medio de 365.2563627 días, lo que sólo es 1,4 segundos mayor que el valor aceptado actualmente de 365.25636305 días. Este trabajo fue traducido del árabe al latín durante la Edad Media.

Aryabhata, en 499, introdujo la función verseno, produjo las primeras tablas trigonométricas del seno, desarrolló técnicas y algoritmos de álgebra, infinitesimales, ecuaciones diferenciales y obtuvo la solución completa de ecuaciones lineales por un método equivalente al actual, además de cálculos astronómicos basados en un sistema heliocéntricode gravitación. Desde el siglo VIII estuvo disponible una traducción al árabe de su Aryabhatiya, seguida de una traducción al latín en el siglo XIII. También calculó el valor de π con once decimales (3,14159265359).

En el siglo VII Brahmagupta identificó el Teorema de Brahamagupta, la Identidad de Brahmagupta y la Fórmula de Brahmagupta y, por primera vez en Brahma-sphuta-siddhanta, explicó claramente los dos usos del número 0: como un símbolo para rellenar un hueco en el sistema posicional y como una cifra y explicó el Sistema de numeración hindo-arábigo. Fue a raíz de una traducción de su texto sobre matemáticas (hacia el 770) cuando las matemáticas islámicas tuvieron acceso a este sistema de numeración, que posteriormente adaptaron usando los numerales arábigos. Los estudiantes árabes exportaron este conocimiento a Europa hacia el siglo XII y terminó desplazando los sistemas de numeración anteriores en todo el mundo. En el siglo X un comentario de Halayudha sobre la obra de Pingala incluía un estudio de la secuencia de Fibonacci y del Triángulo de Pascal y describía la formación de una matriz.

En el siglo XII, Bhaskara concibió por primera vez el cálculo diferencial, junto con conceptos como derivada, coeficiente diferencial y diferenciación. También estableció el Teorema de Rolle (un caso especial delTeorema del valor medio), estudió la ecuación de Pell e investigó la derivada de la función seno. Desde el siglo XIV Madhava y otros matemáticos de la escuela de Kerala ampliaron sus ideas. Desarrollaron el concepto de análisis matemático y números de punto flotante y conceptos fundamentales para el desarrollo global del cálculo, incluyendo el teorema del valor medio y la integración término a término; las relaciones entre el área bajo una curva y sus antiderivada o integral; el test integral para la convergencia; métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales y un buen número de series infinitas,series de potencias, series de Taylor y series trigonométricas. En el siglo XVI Jyeshtadeva consolidó la mayoría de los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en el Yuktibhasa, el primer texto en la historia sobre el cálculo diferencial, donde también se introducían conceptos del cálculo integral.

El progreso matemático en la India se estancó a partir de finales del siglo XVI debido a conflictos políticos.

[editar]Matemáticas islámicas (hacia 800-1500)

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī

El imperio islámico, establecido a lo largo del Oriente Medio, Asia Central, África del Norte, Iberia, y parte de la India, hizo aportes significativos en matemáticas en el siglo octavo. Aunque la mayor parte de los textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos en árabe, no todos fueron escritos por árabes, dado que, así como el griego era usado en el mundo helenístico, el árabe era usado como el lenguaje escrito de los intelectuales no árabes a lo largo del mundo islámico en aquella época. Junto con los árabes, muchos otros importantes matemáticos islámicos fueron persas.

En el siglo IX, Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre los números arábigos y sobre los métodos de resolución de ecuaciones. Su libro Sobre los cálculos con números arábigos, escrito alrededor del año 825, junto con el trabajo de Al-Kindi, fueron instrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y los números arábigos en occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebra del título de uno de sus trabajos, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Compendio sobre el cálculo de complemento y equilibrio). Al-Juarismi a menudo es apodado "el padre del álgebra", por sus importantes contribuciones a este campo.¹⁹ Aportó una exhaustiva explicación a la solución de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas,²⁰ y fue el primero en enseñar el álgebra en sus formas más elementales.²¹ También introdujo el método fundamental de "reducción" y "balance", refiriéndose a la colocación de los términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales que se encuentran en lados opuestos de una ecuación. Esta operación fue descrita originariamente por Al-Jarismi como al-jabr.²² Su álgebra no solo consistía "en una serie deproblemas sin resolver, sino en una exposición que comienza con las condiciones primitivas que deben dar todos los prototipos de ecuaciones posibles mediante una serie de combinaciones, a partir de este momento serán objeto de estudio."

El posterior desarrollo del álgebra vino de la mano de Al-Karaji. En su tratado al-Fakhri extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades desconocidas. La primera demostración porinducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji en el 1000 D.C., en el que demuestra el teorema del binomio, el triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales.²³El historiador de las matemáticas, F. Woepcke,²⁴ elogió a Al-Karaji por haber sido "el primero en introducir la teoría del cálculo algebraico." También en el siglo X Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe y desarrolló la función tangente. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en deducir la fórmula de la suma de las potencias cuartas, usando un método que puede generalizarse para determinar la fórmula general de la suma de cualquier potencia entera. Desarrolló una integración para calcular el volumen de un paraboloide y fue capaz de generalizar sus resultados para las integrales de polinomios más allá de cuarto grado. Incluso se acercó bastante a la fórmula general de la integral de polinomios, aunque no estaba interesado en polinomios de grado mayor que cuatro.²⁵

En las postrimerías del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusiones sobre las dificultades en Euclides, un libro sobre los defectos en los Elementos de Euclides, especialmente el postulado de las paralelas y estableció los fundamentos de la geometría analítica y la geometría no euclídea. También fue el primero en encontrar la solución geométrica a la ecuación cúbica. También influyó en la reforma del calendario.^{[cita requerida]}

[editar]Estructura, espacio y cambio

El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos de resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.

El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclidiana y luego la trigonometría.

La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las Ciencias Naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa del cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian en las ecuaciones diferenciales.

Los números que usaron para representar las cantidades continuas son los números reales, y el estudio detallado de sus propiedades se denomina análisis. Por razones matemáticas, es conveniente introducir los números del complejo que se estudian en el análisis complejo.

El concepto central que se usa para describir una variable cambiante es que de una función, y su estudio, se denomina análisis funcional. Un campo importante en matemática aplicada es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

[editar]Referencias

[editar]Véase también

•  Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Historia de la Geometría
• Matemáticas en el Antiguo Egipto
• Geometría en el Antiguo Egipto
• Matemática helénica
• Matemática en el Islam medieval
• Matemática en la India
• Matemática china
• Filosofía de la matemática
• Anexo:Linea de tiempo de la matemática
• Anexo:Lista de matemáticos importantes
• Historia de las ecuaciones diferenciales

[editar]Enlaces externos

•  Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Historia de la matemática.
• Un paseo por la Historia de las Matemáticas. (Astroseti/McTutor)

LAS MATEMÁTICAS EN LOS PAISES ANDINOS

MATEMÁTICOS ANDINOS DESTACADOS

BOLIVIA

PROFESOR JAIME ESCALANTE

http://www.facebook.com/pages/Prof-Jaime-Escalante/70973708634

El profesor boliviano de matemáticas Jaime Escalante, inmortalizado en la película “Stand and Deliver” (1988) por el actor Edward James Olmos, falleció a los 79 años en Roseville, California, víctima de un cáncer de vejiga. 

Escalante se convirtió en un referente de la enseñanza de matemáticas en EE.UU. a través de un sistema que impartió en el centro Garfield, en la deprimida zona del este de Los Ángeles, donde consiguió que estudiantes de origen humilde destacaran por sus conocimientos en la materia. 

ESCUELA VIRTUAL ANDINA EDUCIMAC

http://www.ustream.tv/recorded/13012270 Alejandro Pompa Red de Matematicos Educimac Perú

Nodo de Matemáticos del Perú

HERRAMIENTAS Y MATERIALES SOBRE MATEMATICAS

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

http://www.sectormatematica.cl/historia/historiaencomic.swf

COLOMBIA

Pruebas ICFES 2010 Estandares: http://www.icfes.gov.co/saber59/index.php?option=com_content&view=article&id=5#mat

Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN), Estándares Curriculares para Matemáticas, Bogotá, Mayo de 2003. http://www.eduteka.org/pdfdir/MENEstandaresMatematicas2003.pdf

Componentes de la Evaluación en Matemáticas de las pruebas Saber, Icfes, 2003.http://www.icfes.gov.co/esp/sac/eva_ed_b/index.ht

Referencias citadas por Colombia Aprende

• Matemáticas divertidas
• Divertidos juegos que pretenden conectar la matemática con el lenguaje y estimular la visión multidisciplinaria y la utilización del lenguaje en la explicación de los procesos de resolución de problemas; esta última, una de las tendencias de vanguardia en la enseñanza de la matemática.
• Matemáticas U. Nacional
  Información sobre investigación, docencia, extensión y asesoría. Administra la Carrera de Matemáticas, y cinco programas de postgrado.
• Proyecto universitario de enseñanza de las matemáticas asistida por computadora
  Ambiente virtual de aprendizaje que lleva a estudiantes y docentes a explorar el fascinante mundo de las matemáticas, el álgebra y el cáculo a través de ejercicios, problemas, juegos con calculadora y mucho más.
• Rincón Matemático
  Revista electrónica de matemáticas básicas en donde se puenden descargar diversos artículos, participar en foros y solucionar el problema del mes.
• Salón Hogar
  Sitio educativo que ofrece variados contenidos, actividades y juegos relacionados con matemáticas, ciencias, historia, lingüística, enseñanza y aprendizaje del Inglés, entre otros. Cuenta además con un buscador temático.
• Sector Matemática
  Aporte a la educación matemática a través de artículos de expertos, ejercicios y juegos como ajedréz, sudoku, origami, cine, artículos de revistas especializadas.
• Sociedad Colombiana de Matemáticas
  Es una entidad de carácter científico y cultural que estimula la investigación y apoya la labor docente a través de recursos bibliográficos y publicaciones especializadas en esta ciencia.
• That Quiz 
  Sitio web dedicado a las matemáticas, incluye pruebas para ser aplicadas a nivel de: números enteros, fracciones, geometría y conceptos. Nota:Requiere para 
• funcionar Internet Explorer 6, Firefox, Mozilla, o Netscape 7.

Revista Colombiana de Matemáticas http://www.scm.org.co/revistas.php?modulo=Revista

BOLIVIA

Profesor Jaime Escalante: Boliviano Premio Nacional de Matematicas en los Estados Unidos

•  Portal:Los Ángeles. Contenido relacionado con Los Ángeles.
• Stand and Deliver Revisada y corregida: La historia no dicha (en inglés)
• Grandes negocios, carrera y género en la Reforma Matemática (en inglés)
• Salón de la fama / Jaime Escalante
• Los estudiantes de Jaime Escalante: En dónde están ahora? (en inglés)
• Jamie Escalante y el Lancaster Amish un discurso en MP3 de John Taylor Gatto

Olimpiadas Matematicas La Paz Bolivia http://cmat.umsa.bo/olimpiadas/

Experiencia de uso Tic en matematicas http://www.ayni.nl/es/articulos/insercion-de-la-computadora-como-herramienta-de-aula.html

PERÚ

Diseño curricular matemáticas http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wp-descargas/2010/DCBN_Matematica_2010.pdf

Directivas Concursos de Matemáticas 2011 http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/concursos2011_01.pdf

Guía para el desarrollo del pensamiento Matiamatico http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/Guiapensamientomatematica.pdf

NORMA EDUCACION MATEMATICA OTP - Matemática - 2006 

PERÚ EDUCA RECURSOS EDUCATIVOS http://www.perueduca.edu.pe/web/visitante/recursos

ECUADOR

http://www.educarecuador.ec/interna.php?txtCodiInfo=175

Recursos Didácticos

Matemática

REFERENCIAS INTERNACIONALES

ARGENTINA

Núcleo teórico : Influencia de las TIC http://aportes.educ.ar/matematica/nucleo-teorico/influencia-de-las-tic/

• Nuevas tecnologías en la enseñanza de la matemática
  • La inserción de las tecnologías ¿puede cambiar las prácticas matemáticas actuales?
  • Y en relación con las computadoras...
  • Bibliografía
• Investigaciones sobre su aplicación en el campo educativo
  • Historia de las TIC: principales movimientos y producciones
  • Un gran matemático y pionero de la computación en la Argentina: Manuel Sadosky
• Algunas investigaciones sobre las aplicaciones de las TIC
  • Introducción
  • El uso de las calculadoras graficadoras para modelar y resolver problemas, álgebra, funciones y conjeturas en geometría
  • Hacia el siglo XXI: funciones en contexto en formato electrónico
  • Formulación de conjeturas en actividades con Cabri-Géomètre
  • Otros trabajos de investigación
  • Referencias bibliográficas
• Software. Análisis de propuestas de enseñanza con TIC
  • Introducción
  • Un poco de la historia de Cabri-Géomètre
  • El Proyecto Descartes
  • Sobre la formación docente y el desafío de enfrentarse a las TIC

CHILE

http://www.enlaces.cl/index.php?t=44&i=2&cc=170&tm=2

ESTADOS UNIDOS

New Standards for Teaching and Learning in America's Schools), escrito por Steven Zemelman, Harvey Daniels y Arthur Hyde; segunda edición, 1998, Editorial Hinemannla enseñanza de avanzada en seis áreas: lectura, escritura, Matemáticas, ciencias, estudios sociales y arte.http://www.heinemann.com/shared/products/E00091.asp

Andee Rubin, "Technology Meets Math Education: Envisioning A Practical Future", Julio de 2000. http://www.air.org/forum/abRubin.htm Andee Rubin ha trabajado por más de 25 años en educación en las áreas de Matemáticas y lenguaje. Ha estado enfocado en el papel de la tecnología en ambas áreas, en la evolución de los conceptos matemáticos en los estudiantes y en el desarrollo profesional en Matemáticas y tecnología para profesores de primaria

La integración de las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TICs) en las materias del currículo regular puede realizarse de varias formas. Y una de ellas es mediante el uso de simulaciones. Estas reciben el nombre genérico de Applets y generalmente están programadas en Java. Son una excelente herramienta para mejorar la comprensión y el aprendizaje de temas complejos en algunas materias. En el siguiente enlace podrá encontrar varias simulaciones para Matemáticas y Física.http://www.eduteka.org/instalables.php3

Declaración del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM, por sus siglas en Inglés) en la cual recomiendan la integración de las calculadoras en los programas escolares de Matemáticas en todos los grados.http://www.eduteka.org/DeclaracionCalculadoras.php

Son varios los lenguajes de programación permiten controlar ladrillos programables (RCX). MicroMundos EX Robotics tiene todas las características de MicroMundos EX, más la funcionalidad para programar prototipos (cricket robot), computadores de bolsillo y el ladrillo programable de Lego (RCX). http://www.microworlds.com/solutions/mwexrobotics.html
LabView: Laboratory Virtual Instrument Engineeering Workbench, es un ambiente gráfico de programación desarrollado por National Instruments. En LabView cada ícono grafico ejecuta un conjunto específico de instrucciones o cálculos. http://www.ni.com/labview/

RCX: Ladrillo programable de Lego sobre el cual se puede construir. Tiene un reloj interne y puede enviar energía a los motores y luces conectados a los puertos de salida y recibe información de los sensores conectados a los puertos de entrada.http://mindstorms.lego.com

MicroMundos Pro es un software fabricado por la compañía canadiense LCSI. Permite a los estudiantes crear proyectos dinámicos e interactivos mediante el lenguaje de programación Logo. http://www.micromundos.com/

Con Geometric Supposer los estudiantes pueden trabajar simultáneamente en diferentes tipos de figuras, y crear nuevas figuras conectadas con las formas básicas. Pueden mover una figura y ver cómo ese movimiento afecta a las otras, la relación existente entre ellas y sus medidas. http://www.cet.ac.il/math-international/software5.htm 

HyperGami y JavaGami son ambientes de software para el diseño y construcción de esculturas de papel utilizando poliedros y variantes de ellos. Se pueden descargar gratuitamente. http://www.cs.colorado.edu/~ctg/projects/hypergami/

El software AgentSheets puede utilizarse para crear juegos interactivos, mundos virtuales, simulaciones de entrenamiento, recolección de información y agentes personalizados. http://agentsheets.com/ 

El proyecto SimCalc tiene como misión habilitar a todos los estudiantes a desarrollar comprensión y habilidades prácticas en conceptos fundamentales de las Matemáticas por medio de la combinación de tecnología avanzada y reforma curricular. Mediante herramientas interactivas de visualización, transformación y simulación de objetos matemáticos se posibilita que los estudiantes alcancen comprensión de conceptos en profundidad. http://www.simcalc.umassd.edu

ESPAÑA

http://blog.educastur.es/cuate/2007/03/12/matematicas-y-tic/

MEXICO

Proyecto de la enseñanza de Matemáticas asistida por computadora http://www.interactiva.matem.unam.mx/

HERRAMIENTAS

• Nueva Interfaz Gráfica de Matemática Interactiva
• Entrevista con el matemático Bernardo Recamán
• Componente de estadística en Matemática Interactiva
• Matemáticas en la Educación Básica y Media
• Componente de álgebra en Matemática Interactiva
• Mapa de alfabetismo en TIC: Matemáticas
• Un docente que utiliza TIC para enseñar Matemáticas
• Reseña actualizada de software para Geometría
• Módulo de Geometría en Matemática Interactiva